Γενικές ιδιότητες συναρτήσεων

Πρέπει \(x-3\ge0\), δηλαδή \(x\ge3\). Το \(3\) ανήκει στο πεδίο ορισμού, αφού \(\sqrt0=0\).

\((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}\). Το \(x^{2}+1\) είναι η \((g\circ f)(x)\).

Η \(f(x-c)\) με \(c>0\) είναι η \(C_{f}\) μετατοπισμένη κατά \(c\) προς τα δεξιά.

\(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\), άρα είναι περιττή. Η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

Λύνουμε την \(y=2x+1\) ως προς \(x\): \(x=\dfrac{y-1}{2}\). Η αντίστροφη δεν είναι το \(\dfrac{1}{f}\).

Ο παρονομαστής δεν πρέπει να μηδενίζεται, άρα \(x\neq2\).

Η \(x^{3}\) είναι γνησίως αύξουσα, άρα 1-1. Οι άλλες παίρνουν την ίδια τιμή σε διαφορετικά \(x\), για παράδειγμα \((-1)^{2}=1^{2}\).

Είναι \(x^{2}\ge0\) για κάθε \(x\), και κάθε \(y\ge0\) είναι τιμή της \(f\), αφού \(f(\sqrt{y})=y\). Το \(0\) ανήκει στο σύνολο τιμών.

Κάθε σημείο \((x,y)\) πηγαίνει στο \((x,-y)\). Η συμμετρία ως προς τον άξονα \(y\) αντιστοιχεί στην \(f(-x)\).

Για \(x_{1}<x_{2}\le0\) ισχύει \(x_{1}^{2}>x_{2}^{2}\). Στο \([0,+\infty)\) η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Ο παρονομαστής \(x^{2}+x=x(x+1)\) μηδενίζεται για \(x=0\) και \(x=-1\). Αυτές οι δύο τιμές εξαιρούνται.

Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Τα \(0\) και \(1\) είναι ρίζες της, δεν εξαιρούνται από το πεδίο ορισμού.