Αρχική › Κεφάλαιο 5: Όρια και συνέχεια
Κουίζ 5.2
Υπολογισμός ορίων
Μία επιλογή ανά ερώτηση. Η εξήγηση εμφανίζεται αμέσως.
Ερώτηση 1
\(x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)\). Απλοποιούμε και μένει \(\displaystyle\lim_{x\to-1}(x-2)=-3\).
Ερώτηση 2
\(x^{2}+3x-4=(x-1)(x+4)\). Απλοποιούμε και μένει \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x+4)=5\).
Ερώτηση 3
\(x^{2}-25=(x-5)(x+5)\). Απλοποιούμε και μένει \(\displaystyle\lim_{x\to5}(x+5)=10\).
Ερώτηση 4
Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση: \(\dfrac{4\left(\sqrt{x^{2}+3}-2\right)}{x+1}=\dfrac{4(x^{2}-1)}{(x+1)\left(\sqrt{x^{2}+3}+2\right)}=\dfrac{4(x-1)}{\sqrt{x^{2}+3}+2}\), που τείνει στο \(\dfrac{-8}{4}=-2\).
Ερώτηση 5
Με τη συζυγή παράσταση: \(\dfrac{x^{2}-1}{(x+1)\left(\sqrt{x^{2}+8}+3\right)}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}+8}+3}\), που τείνει στο \(\dfrac{-2}{6}=-\dfrac13\).
Ερώτηση 6
Ο αριθμητής έχει μεγαλύτερο βαθμό. Η συνάρτηση συμπεριφέρεται όπως η \(\dfrac{2x^{2}}{x}=2x\), που τείνει στο \(+\infty\).
Ερώτηση 7
Η συνάρτηση συμπεριφέρεται όπως η \(\dfrac{3x^{2}}{x}=3x\), που τείνει στο \(-\infty\) όταν \(x\to-\infty\).
Ερώτηση 8
\(\dfrac{x+6}{x}=1+\dfrac{6}{x}\) και \(\dfrac{6}{x}\to0\).
Ερώτηση 9
\(\left|\dfrac{\sin x}{2x}\right|\le\dfrac{1}{2x}\to0\). Προσοχή: το γνωστό όριο \(\dfrac{\sin x}{x}\to1\) αφορά το \(x\to0\), όχι το \(x\to+\infty\).
Ερώτηση 10
Το συνημίτονο μένει ανάμεσα στο \(-1\) και το \(1\), ενώ ο παρονομαστής τείνει στο \(+\infty\). Άρα \(\left|\dfrac{\cos2x}{x}\right|\le\dfrac{1}{x}\to0\).