Αρχική › Κεφάλαιο 9: Εφαρμογές ολοκληρωμάτων

Κουίζ αυτοελέγχου

Μία επιλογή ανά ερώτηση. Η εξήγηση εμφανίζεται αμέσως.

Ερώτηση 1

Η μέση τιμή της \(f(x)=x^{2}\) στο \([0,3]\) είναι:

\(\dfrac{1}{3-0}\displaystyle\int_{0}^{3}x^{2}dx=\dfrac13\cdot9=3\).

Ερώτηση 2

Ποιο είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των καμπυλών \(y=x^{2}\) και \(y=x\);

Οι καμπύλες τέμνονται στα \(x=0\) και \(x=1\), όπου \(x\ge x^{2}\). Άρα \(E=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right)dx=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16\). Το εμβαδόν δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Ερώτηση 3

Ο όγκος του στερεού που παράγεται όταν το χωρίο κάτω από την \(y=x\), \(0\le x\le1\), περιστραφεί γύρω από τον άξονα \(x\) είναι:

\(V=\pi\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}dx=\dfrac{\pi}{3}\). Είναι κώνος με ακτίνα \(1\) και ύψος \(1\).

Ερώτηση 4

Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα \(v(t)=2t\) m/s. Η μετατόπισή του από \(t=0\) έως \(t=3\) s είναι:

Καθαρή μεταβολή: \(\displaystyle\int_{0}^{3}2t\,dt=9\).

Ερώτηση 5

Αν η \(f\) έχει συνεχή παράγωγο στο \([a,b]\), το μήκος της καμπύλης \(y=f(x)\), \(a\le x\le b\), δίνεται από το:

Μέσα στη ρίζα βρίσκεται το τετράγωνο της παραγώγου, όχι της συνάρτησης.

Ερώτηση 6

Δύναμη \(F(x)=3x\) N μετακινεί ένα σώμα από \(x=0\) έως \(x=2\) m. Το έργο είναι:

\(W=\displaystyle\int_{0}^{2}3x\,dx=\left[\dfrac{3x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=6\).

Ερώτηση 7

Το εμβαδόν του χωρίου κάτω από την \(y=x^{2}\) και πάνω από τον άξονα \(x\), για \(0\le x\le3\), είναι:

\(\displaystyle\int_{0}^{3}x^{2}dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=9\).

Ερώτηση 8

Το χωρίο κάτω από τη \(C_{f}\), με \(f\ge0\) και \(a\le x\le b\), περιστρέφεται γύρω από τον άξονα \(x\). Ο όγκος του στερεού είναι:

Κάθε διατομή είναι δίσκος με ακτίνα \(f(x)\), άρα έχει εμβαδόν \(\pi f^{2}(x)\).

Ερώτηση 9

Η μέση τιμή της \(f(x)=\sin x\) στο \([0,\pi]\) είναι:

\(\dfrac{1}{\pi-0}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\dfrac{2}{\pi}\approx0{,}64\).

Ερώτηση 10

Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα \(v(t)=3t^{2}\) m/s. Η μετατόπισή του από \(t=0\) έως \(t=2\) s είναι:

\(\displaystyle\int_{0}^{2}3t^{2}dt=\left[t^{3}\right]_{0}^{2}=8\) m. Το \(12\) είναι η ταχύτητα τη στιγμή \(t=2\).

Ερώτηση 11

Το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσα στην \(y=4\) και την \(y=x^{2}\) είναι:

Οι καμπύλες τέμνονται στα \(x=\pm2\). \(\displaystyle\int_{-2}^{2}\left(4-x^{2}\right)dx=16-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}\).

Ερώτηση 12

Ένα σώμα κινείται σε ευθεία με ταχύτητα \(v(t)=t-1\) m/s για \(0\le t\le2\) s. Η μετατόπισή του είναι:

\(\displaystyle\int_{0}^{2}(t-1)\,dt=0\). Το σώμα κινείται πρώτα προς τα πίσω και μετά προς τα εμπρός και επιστρέφει στην αρχική του θέση, έχοντας διανύσει συνολικά \(1\) m.

Ερώτηση 13

Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των καμπυλών \(y=x^{3}\) και \(y=x\), στο πρώτο τεταρτημόριο, δίνεται από το:

Στο πρώτο τεταρτημόριο οι καμπύλες τέμνονται στα \(x=0\) και \(x=1\), και εκεί \(x\ge x^{3}\). Ολοκληρώνουμε την πάνω καμπύλη μείον την κάτω.

Ερώτηση 14

Η συγκέντρωση μιας ουσίας σε μια δεξαμενή, σε mg/L, \(t\) ώρες μετά την έναρξη μιας μέτρησης είναι \(C(t)=10+6t^{2}\), \(0\le t\le3\). Ποια είναι η μέση συγκέντρωση στο διάστημα \(0\le t\le3\);

\(\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{0}^{3}\left(10+6t^{2}\right)dt=\dfrac13\left[10t+2t^{3}\right]_{0}^{3}=\dfrac{84}{3}=28\). Το 64 είναι η τελική τιμή και το 37 ο μέσος όρος αρχικής και τελικής τιμής, που δεν είναι η μέση τιμή της συνάρτησης.

Ερώτηση 15

Η θερμοκρασία σε ένα θερμοκήπιο, σε \(^{\circ}\)C, \(t\) ώρες μετά το μεσημέρι είναι \(T(t)=30-3\sqrt{16-t}\), \(0\le t\le16\). Ποια είναι η μέση θερμοκρασία στο διάστημα \(0\le t\le16\);

\(\displaystyle\int_{0}^{16}\sqrt{16-t}\,dt=\dfrac23\cdot16^{3/2}=\dfrac{128}{3}\). Άρα η μέση τιμή είναι \(30-\dfrac{3}{16}\cdot\dfrac{128}{3}=30-8=22\).

Μηδενίζει όλες τις απαντήσεις αυτού του κουίζ. Οι απαντήσεις δεν αποθηκεύονται πουθενά.

← Διαδραστικά Κεφάλαιο 9 →