Αρχική › Κεφάλαιο 11: Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Κουίζ αυτοελέγχου

Μία επιλογή ανά ερώτηση. Η εξήγηση εμφανίζεται αμέσως.

Ερώτηση 1

Για την \(f(x,y)=x^{2}y\), η \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) είναι:

Παραγωγίζουμε ως προς \(x\) θεωρώντας το \(y\) σταθερό.

Ερώτηση 2

Η κλίση \(\nabla f\) της \(f(x,y)=x^{2}+y^{2}\) στο σημείο \((1,2)\) είναι:

\(\nabla f=(2x,2y)\), άρα στο \((1,2)\) είναι \((2,4)\). Η κλίση είναι διάνυσμα, όχι αριθμός.

Ερώτηση 3

Για \(c>0\), οι ισοσταθμικές καμπύλες \(x^{2}+y^{2}=c\) της \(f(x,y)=x^{2}+y^{2}\) είναι:

Για \(c>0\) η \(x^{2}+y^{2}=c\) είναι κύκλος με κέντρο την αρχή και ακτίνα \(\sqrt{c}\). Για \(c=0\) το ισοσταθμικό σύνολο είναι μόνο το σημείο \((0,0)\) και για \(c<0\) είναι κενό.

Ερώτηση 4

Ένα κάθετο διάνυσμα του επιπέδου \(2x-y+3z=5\) είναι το:

Οι συντελεστές των \(x,y,z\) στην εξίσωση του επιπέδου δίνουν ένα κάθετο διάνυσμά του.

Ερώτηση 5

Το \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) δύο διανυσμάτων του χώρου είναι:

Το εξωτερικό γινόμενο είναι διάνυσμα κάθετο και στα δύο. Το εσωτερικό είναι αριθμός.

Ερώτηση 6

Η \(f\) έχει συνεχείς δεύτερες μερικές παραγώγους και σε ένα κρίσιμο σημείο της ισχύει \(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}<0\). Το σημείο είναι:

Αρνητική ορίζουσα του πίνακα των δεύτερων παραγώγων σημαίνει σαγματικό σημείο.

Ερώτηση 7

Για την \(f(x,y)=\sin(xy)\), η \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) είναι:

Θεωρούμε το \(x\) σταθερό και εφαρμόζουμε τον κανόνα αλυσίδας: \(\cos(xy)\cdot\dfrac{\partial(xy)}{\partial y}=x\cos(xy)\).

Ερώτηση 8

Το πεδίο ορισμού της \(f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\) είναι:

Πρέπει \(1-x^{2}-y^{2}\ge0\), δηλαδή \(x^{2}+y^{2}\le1\).

Ερώτηση 9

Το εσωτερικό γινόμενο των \(\mathbf{u}=(1,2,3)\) και \(\mathbf{v}=(1,0,-1)\) είναι:

\(1\cdot1+2\cdot0+3\cdot(-1)=-2\). Το εσωτερικό γινόμενο είναι αριθμός, όχι διάνυσμα.

Ερώτηση 10

Αν η \(f\) είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο και εκεί \(\nabla f\neq\mathbf{0}\), η \(f\) αυξάνει ταχύτερα κατά την κατεύθυνση:

Η κατευθυνόμενη παράγωγος γίνεται μέγιστη στην κατεύθυνση της κλίσης. Κάθετα στην κλίση, κατά μήκος της ισοσταθμικής, είναι μηδέν. Αν \(\nabla f=\mathbf{0}\), όλες οι κατευθυνόμενες παράγωγοι είναι μηδέν και δεν ξεχωρίζει καμία κατεύθυνση.

Ερώτηση 11

Το κρίσιμο σημείο της \(f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x\) είναι το:

\(f_{x}=2x-2=0\) και \(f_{y}=2y=0\), άρα \((x,y)=(1,0)\). Είναι τοπικό ελάχιστο.

Ερώτηση 12

Το μέτρο του διανύσματος \(\mathbf{u}=(1,2,2)\) είναι:

\(|\mathbf{u}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt9=3\).

Ερώτηση 13

Η ισοσταθμική καμπύλη \(f(x,y)=0\) της \(f(x,y)=25-x^{2}-y^{2}\) είναι:

Θέτουμε \(25-x^{2}-y^{2}=0\), δηλαδή \(x^{2}+y^{2}=25\): κύκλος με κέντρο την αρχή και ακτίνα 5.

Μηδενίζει όλες τις απαντήσεις αυτού του κουίζ. Οι απαντήσεις δεν αποθηκεύονται πουθενά.

← Διαδραστικά Κεφάλαιο 11 →