Γραμμικά συστήματα

Μία επιλογή ανά ερώτηση. Η εξήγηση εμφανίζεται αμέσως.

Ερώτηση 1

Στην απαλοιφή Gauss εμφανίζεται η γραμμή \((0\ \ 0\ \mid 3)\). Το σύστημα:

Η γραμμή αυτή είναι η εξίσωση \(0=3\), που δεν ικανοποιείται ποτέ.

Ερώτηση 2

Οι λύσεις ελαχίστων τετραγώνων ενός αδύνατου συστήματος \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) βρίσκονται από το σύστημα:

Οι κανονικές εξισώσεις εκφράζουν ότι η απόκλιση \(\mathbf{b}-A\mathbf{x}\) είναι κάθετη στις στήλες του \(A\). Η λύση είναι μοναδική όταν οι στήλες του \(A\) είναι γραμμικώς ανεξάρτητες.

Ερώτηση 3

Το ομογενές σύστημα \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\), με \(A\) τετραγωνικό και \(\det A\neq0\), έχει:

Όταν \(\det A\neq0\) ο \(A\) αντιστρέφεται και \(\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}\). Μη μηδενικές λύσεις υπάρχουν μόνο όταν \(\det A=0\).

Ερώτηση 4

Η μέθοδος Cramer εφαρμόζεται σε ένα γραμμικό σύστημα όταν:

Τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση και κάθε άγνωστος είναι πηλίκο δύο οριζουσών.

Ερώτηση 5

Η λύση του συστήματος \(x+2y=5\), \(3x+4y=11\) είναι:

Αφαιρώντας από τη δεύτερη εξίσωση το τριπλάσιο της πρώτης παίρνουμε \(-2y=-4\), άρα \(y=2\) και \(x=1\).

Ερώτηση 6

Ποια από τις παρακάτω πράξεις γραμμών επιτρέπεται στην απαλοιφή Gauss;

Επιτρέπονται η εναλλαγή δύο γραμμών, ο πολλαπλασιασμός γραμμής με μη μηδενικό αριθμό και η πρόσθεση σε γραμμή πολλαπλασίου άλλης. Οι πράξεις αυτές δεν αλλάζουν τις λύσεις.

Ερώτηση 7

Σε σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, η απαλοιφή Gauss καταλήγει στις γραμμές \((1\ \ 2\ \mid 3)\) και \((0\ \ 0\ \mid 0)\). Το σύστημα:

Η γραμμή \((0\ \ 0\ \mid 0)\) δεν δίνει πληροφορία. Μένει μία εξίσωση, η \(x+2y=3\), με δύο αγνώστους.

Ερώτηση 8

Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος \(x+2y=3\), \(4x+5y=6\) είναι ο:

Κάθε γραμμή έχει τους συντελεστές μιας εξίσωσης και, μετά τη γραμμή, τον σταθερό όρο της.

Ερώτηση 9

Δίνεται το σύστημα \(x+y+z=0\), \(-y-z=0\), \(y+2z=0\). Ποια πρόταση είναι σωστή;

Προσθέτοντας τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση παίρνουμε \(z=0\), άρα \(y=0\) και \(x=0\). Ένα ομογενές σύστημα δεν είναι ποτέ αδύνατο, και ένα γραμμικό σύστημα δεν μπορεί να έχει ακριβώς τρεις λύσεις.

Μηδενίζει όλες τις απαντήσεις αυτού του κουίζ. Οι απαντήσεις δεν αποθηκεύονται πουθενά.

← Κουίζ 12.1 Κουίζ 12.3 →