Μονοτονία, κυρτότητα, ασύμπτωτες και όρια

Μία επιλογή ανά ερώτηση. Η εξήγηση εμφανίζεται αμέσως.

Ερώτηση 1

Αν η \(f\) είναι συνεχής σε ένα διάστημα \(\Delta\) και \(f'(x)>0\) σε κάθε εσωτερικό σημείο του \(\Delta\), τότε η \(f\) στο \(\Delta\) είναι:

Το πρόσημο της πρώτης παραγώγου καθορίζει τη μονοτονία. Η συνέχεια στο \(\Delta\) χρειάζεται για να ισχύει το συμπέρασμα και στα άκρα του διαστήματος.

Ερώτηση 2

Η \(f(x)=x^{3}-3x\) έχει τοπικό ελάχιστο στο:

\(f'(x)=3x^{2}-3=0\Rightarrow x=\pm1\). Είναι \(f''(1)=6>0\), άρα τοπικό ελάχιστο στο \(1\) (και τοπικό μέγιστο στο \(-1\)).

Ερώτηση 3

Αν \(f''(x)<0\) σε ένα διάστημα, η \(f\) εκεί είναι:

Το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου καθορίζει την κυρτότητα: \(f''<0\) σημαίνει κοίλη.

Ερώτηση 4

Η οριζόντια ασύμπτωτη της \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\) είναι η:

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=2\). Η \(x=3\) είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Ερώτηση 5

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=\)

Μορφή \(\frac00\). Με τον κανόνα de l'Hôpital \(\lim\dfrac{e^{x}}{1}=1\).

Ερώτηση 6

Το κρίσιμο σημείο της \(f(x)=x^{2}-4x\) είναι το:

\(f'(x)=2x-4=0\Rightarrow x=2\). Τα \(0\) και \(4\) είναι οι ρίζες της \(f\), όχι της \(f'\).

Ερώτηση 7

Αν \(f'(x)=(x-1)^{2}\), τότε στο \(x=1\) η \(f\):

Η \(f'\) μηδενίζεται στο \(1\) αλλά δεν αλλάζει πρόσημο, είναι θετική δεξιά και αριστερά. Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.

Ερώτηση 8

Η \(f(x)=x^{3}\) έχει σημείο καμπής στο:

\(f''(x)=6x\), που αλλάζει πρόσημο στο \(0\): η \(f\) είναι κοίλη για \(x<0\) και κυρτή για \(x>0\).

Ερώτηση 9

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}}=\)

Μορφή \(\frac{\infty}{\infty}\). Με τον κανόνα de l'Hôpital, \(\lim\dfrac{1}{e^{x}}=0\). Η εκθετική αυξάνει ταχύτερα από κάθε δύναμη του \(x\).

Ερώτηση 10

Η κατακόρυφη ασύμπτωτη της \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) είναι η:

Καθώς \(x\to1^{+}\) η \(f(x)\to+\infty\). Η \(y=0\) είναι η οριζόντια ασύμπτωτη.

Μηδενίζει όλες τις απαντήσεις αυτού του κουίζ. Οι απαντήσεις δεν αποθηκεύονται πουθενά.

← Διαδραστικά Κουίζ 7.2 →