Βελτιστοποίηση και μέθοδος του Νεύτωνα

Με πλευρές \(x\) και \(10-x\), \(E=x(10-x)\), \(E'=10-2x=0\Rightarrow x=5\): τετράγωνο με εμβαδόν \(25\).

Συγκρίνουμε τις τιμές στα άκρα και στο κρίσιμο σημείο: \(f(-1)=1\), \(f(0)=0\), \(f(2)=4\).

Αν ο ένας είναι \(x\), το γινόμενο είναι \(x(10-x)\). Η παράγωγος \(10-2x\) μηδενίζεται στο \(x=5\), όπου το γινόμενο είναι 25.

\(f'(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}}\), που μηδενίζεται στο \(x=1\) και αλλάζει πρόσημο από αρνητικό σε θετικό. Άρα η ελάχιστη τιμή είναι \(f(1)=2\).

Συγκρίνουμε τις τιμές της συνάρτησης στα κρίσιμα σημεία του ανοικτού διαστήματος και στα δύο άκρα.

Το \(x_{n+1}\) είναι το σημείο όπου η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο \((x_{n},f(x_{n}))\) τέμνει τον άξονα \(x\).

\(x_{1}=1-\dfrac{f(1)}{f'(1)}=1-\dfrac{-1}{2}=\dfrac{3}{2}\).

Ο τύπος απαιτεί \(f'(x_{n})\neq0\), αλλιώς θα διαιρούσαμε με το μηδέν. Αν \(f'(x_{n})=0\) και \(f(x_{n})\neq0\), η οριζόντια εφαπτομένη δεν τέμνει τον άξονα \(x\). Αν και \(f(x_{n})=0\), έχουμε ήδη βρει ρίζα και σταματούμε.

\(f'(x)=4x-8\), αρνητική για \(x<2\) και θετική για \(x>2\). Άρα η \(f\) φθίνει και μετά αυξάνει, με ολικό ελάχιστο στο \(x=2\).

Με \(y=32-x\), η \(g(x)=\sqrt{x}+\sqrt{32-x}\) έχει \(g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2\sqrt{32-x}}\), που μηδενίζεται όταν \(x=32-x\), δηλαδή \(x=16\). Εκεί \(g(16)=8\), ενώ στα άκρα \(g(0)=g(32)=\sqrt{32}<8\).