Μέθοδοι ολοκλήρωσης και αριθμητική ολοκλήρωση

Κατά παράγοντες: \(\int x(e^{x})'dx=xe^{x}-\int e^{x}dx\). Επαλήθευση: \((xe^{x}-e^{x})'=xe^{x}\).

Αντικατάσταση \(u=x^{2}\), \(du=2x\,dx\): \(\int\cos u\,du=\sin u+c\).

Επαλήθευση με παραγώγιση: \(\left(\dfrac{e^{2x}}{2}\right)'=e^{2x}\).

Κατά παράγοντες: \(\displaystyle\int x(\sin x)'\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+c\).

Κατά παράγοντες, γράφοντας \(\ln x=(x)'\ln x\): \(x\ln x-\displaystyle\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=x\ln x-x+c\). Το \(\dfrac{1}{x}\) είναι η παράγωγος, όχι παράγουσα.

Από την \(1=A(x+1)+B(x-1)\): για \(x=1\) παίρνουμε \(A=\dfrac{1}{2}\) και για \(x=-1\) παίρνουμε \(B=-\dfrac{1}{2}\).

\(du=2x\,dx\), και τα άκρα αλλάζουν: για \(x=0\) είναι \(u=1\), για \(x=1\) είναι \(u=2\).

\(\dfrac{f(0)+f(2)}{2}\cdot(2-0)=\dfrac{0+4}{2}\cdot2=4\). Η ακριβής τιμή είναι \(\dfrac{8}{3}\). Η προσέγγιση είναι μεγαλύτερη, γιατί η χορδή βρίσκεται πάνω από την κυρτή καμπύλη.

Κατά παράγοντες: \(\left[\dfrac{x^{2}}{2}\ln x\right]_{1}^{e}-\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}-1}{4}=\dfrac{e^{2}+1}{4}\).