Κουίζ 8.3Βασική εξάσκηση

Εξάσκηση στους βασικούς κανόνες ολοκλήρωσης

Μία επιλογή ανά ερώτηση. Η εξήγηση εμφανίζεται αμέσως.

Ερώτηση 1

\(\displaystyle\int 5\,dx=\)

Επαλήθευση με παραγώγιση: \((5x)'=5\).

Ερώτηση 2

\(\displaystyle\int x^{3}\,dx=\)

\(\displaystyle\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c\) για \(n\neq-1\). Το \(3x^{2}\) είναι η παράγωγος.

Ερώτηση 3

\(\displaystyle\int\left(4x^{3}-2x\right)dx=\)

Ολοκληρώνουμε κάθε όρο χωριστά: \(4\cdot\dfrac{x^{4}}{4}-2\cdot\dfrac{x^{2}}{2}\).

Ερώτηση 4

\(\displaystyle\int\sqrt{x}\,dx=\)

\(\sqrt{x}=x^{1/2}\), άρα το ολοκλήρωμα είναι \(\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac23x^{3/2}\).

Ερώτηση 5

\(\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}\,dx=\)

\(\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}\), και εφαρμόζουμε τον τύπο \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) με \(n=-2\): \(\dfrac{x^{-1}}{-1}=-\dfrac1x\). Στον κανόνα των δυνάμεων \(x^{n}\) ο λογάριθμος εμφανίζεται στην ειδική περίπτωση \(n=-1\).

Ερώτηση 6

\(\displaystyle\int\cos x\,dx=\)

Επαλήθευση: \((\sin x)'=\cos x\).

Ερώτηση 7

\(\displaystyle\int\sin x\,dx=\)

Επαλήθευση: \((-\cos x)'=\sin x\).

Ερώτηση 8

\(\displaystyle\int e^{x}\,dx=\)

Η \(e^{x}\) είναι παράγουσα του εαυτού της. Ο κανόνας \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) ισχύει όταν η μεταβλητή είναι στη βάση.

Ερώτηση 9

Για \(x>0\), \(\displaystyle\int\frac{2}{x}\,dx=\)

Η σταθερά βγαίνει έξω: \(2\displaystyle\int\dfrac1x\,dx=2\ln x+c\). Η \(\ln(2x)\) έχει παράγωγο \(\dfrac1x\), όχι \(\dfrac2x\).

Ερώτηση 10

\(\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx=\)

Επαλήθευση: \(\left(\dfrac{(x+1)^{3}}{3}\right)'=(x+1)^{2}\). Αλλιώς, αναπτύσσουμε το τετράγωνο και ολοκληρώνουμε κάθε όρο.

Ερώτηση 11

\(\displaystyle\int e^{-x}\,dx=\)

Επαλήθευση: \(\left(-e^{-x}\right)'=-e^{-x}\cdot(-1)=e^{-x}\).

Ερώτηση 12

\(\displaystyle\int\sin 3x\,dx=\)

Επαλήθευση: \(\left(-\dfrac{\cos3x}{3}\right)'=\dfrac{3\sin3x}{3}=\sin3x\). Διαιρούμε με τον συντελεστή του \(x\), δεν πολλαπλασιάζουμε.

Ερώτηση 13

Για \(x>-1\), \(\displaystyle\int\frac{1}{x+1}\,dx=\)

Επαλήθευση: \(\left(\ln(x+1)\right)'=\dfrac{1}{x+1}\). Το \(-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}\) είναι η παράγωγος.

Ερώτηση 14

Το ολοκλήρωμα \(\displaystyle\int\cos(2x)\,dx\) είναι:

Επαλήθευση: \(\left(\dfrac{\sin2x}{2}\right)'=\dfrac{2\cos2x}{2}=\cos2x\). Το \(-2\sin(2x)\) είναι η παράγωγος.

Ερώτηση 15

Το ολοκλήρωμα \(\displaystyle\int\left(x+1+\cos(x+1)\right)dx\) είναι:

Ολοκληρώνουμε κάθε όρο χωριστά. Μια παράγουσα της \(\cos(x+1)\) είναι η \(\sin(x+1)\).

Ερώτηση 16

Το ολοκλήρωμα \(\displaystyle\int\left(2x-1+\cos(2x-1)\right)dx\) είναι:

Μια παράγουσα της \(\cos(2x-1)\) είναι η \(\dfrac{\sin(2x-1)}{2}\), γιατί η παραγώγιση της \(\sin(2x-1)\) βγάζει παράγοντα 2.

Ερώτηση 17

\(\displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx=\)

\(\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\dfrac12\). Είναι το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 1.

Ερώτηση 18

\(\displaystyle\int_{0}^{2}(2x+1)\,dx=\)

\(\left[x^{2}+x\right]_{0}^{2}=4+2=6\).

Ερώτηση 19

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\)

\(\left[\sin x\right]_{0}^{\pi/2}=1-0=1\).

Ερώτηση 20

\(\displaystyle\int_{0}^{1}e^{x}\,dx=\)

\(\left[e^{x}\right]_{0}^{1}=e-e^{0}=e-1\). Προσοχή: \(e^{0}=1\), όχι 0.

Ερώτηση 21

\(\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\)

\(\left[-\dfrac1x\right]_{1}^{2}=-\dfrac12+1=\dfrac12\).

Μηδενίζει όλες τις απαντήσεις αυτού του κουίζ. Οι απαντήσεις δεν αποθηκεύονται πουθενά.

← Κουίζ 8.2 Κεφάλαιο 8 →